I. CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC VÀ THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN VUÔNG GÓC
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng điều kiện $vec a bot vec b$ $ Leftrightarrow vec a.vec b = 0.$
Chú ý: Ta có $AB bot CD$ $ Leftrightarrow overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} = 0$, để chứng minh $overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} = 0$ thông thường chúng ta phân tích $overrightarrow {AB} $, $overrightarrow {CD} $ qua hai vectơ không cùng phương.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD.$ Chứng minh rằng hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}.$
Ta có $A{B^2} + C{D^2} – B{C^2} – A{D^2}.$
$ = {(overrightarrow {CB} – overrightarrow {CA} )^2}$ $ + C{D^2} – B{C^2}$ $ – {(overrightarrow {CD} – overrightarrow {CA} )^2}.$
$ = – 2overrightarrow {CB} .overrightarrow {CA} + 2overrightarrow {CD} .overrightarrow {CA} $ $ = 2overrightarrow {CA} (overrightarrow {CD} – overrightarrow {CB} ).$
$ = 2overrightarrow {CA} .overrightarrow {BD} .$
Do đó đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi: $overrightarrow {CA} .overrightarrow {BD} = 0$ $ Leftrightarrow A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}.$
Ví dụ 2: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a.$ Gọi $M$, $N$ thuộc cạnh $AB$ và $AD$ sao cho $AM = DN = x.$
a) Chứng minh rằng $CN$ vuông góc với $DM.$
b) Giả sử $P$ là điểm được xác định bởi $overrightarrow {BP} = yoverrightarrow {BC} $, tìm hệ thức liên hệ của $x$, $y$ và $a$ để $MN$ vuông góc với $MP.$
a) Ta có: $overrightarrow {DN} = – frac{x}{a}overrightarrow {AD} $, $overrightarrow {AM} = frac{x}{a}overrightarrow {AB} .$
Suy ra: $overrightarrow {CN} = overrightarrow {CD} + overrightarrow {DN} $ $ = – overrightarrow {AB} – frac{x}{a}overrightarrow {AD} $ và $overrightarrow {DM} = overrightarrow {DA} + overrightarrow {AM} $ $ = frac{x}{a}overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} .$
Suy ra: $overrightarrow {DM} .overrightarrow {CN} $ $ = left( {frac{x}{a}overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} } right)left( { – overrightarrow {AB} – frac{x}{a}overrightarrow {AD} } right).$
$ = – frac{x}{a}{overrightarrow {AB} ^2} + frac{x}{a}{overrightarrow {AD} ^2}$ $ – frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} .$
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} = 0.$
Do đó $overrightarrow {DM} .overrightarrow {CN} $ $ = – ax + ax = 0.$
Vậy $CN$ vuông góc với $DM.$
b) Ta có $overrightarrow {MN} = overrightarrow {AN} – overrightarrow {AM} $ $ = frac{{a – x}}{a}overrightarrow {AB} – frac{x}{a}overrightarrow {AD} $, $overrightarrow {MP} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BP} $ $ = frac{{a – x}}{a}overrightarrow {AB} + yoverrightarrow {AD} .$
Suy ra $MN bot MP$ $ Leftrightarrow overrightarrow {MN} .overrightarrow {MP} = 0.$
$ Leftrightarrow left( {frac{{a – x}}{a}overrightarrow {AB} – frac{x}{a}overrightarrow {AD} } right)left( {frac{{a – x}}{a}overrightarrow {AB} + yoverrightarrow {AD} } right) = 0.$
$ Leftrightarrow frac{{{{(a – x)}^2}}}{{{a^2}}}.{overrightarrow {AB} ^2} – frac{x}{a}.y.{overrightarrow {AD} ^2} = 0$ $ Leftrightarrow {(a – x)^2} = axy.$
Ví dụ 3: Cho tam giác đều $ABC.$ Lấy các điểm $M$, $N$ thỏa mãn $overrightarrow {BM} = frac{1}{3}overrightarrow {BC} $, $overrightarrow {AN} = frac{1}{3}overrightarrow {AB} .$ Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $CN.$ Chứng minh rằng $BI bot IC.$
Giả sử $overrightarrow {AI} = koverrightarrow {AM} .$ Ta có:
$overrightarrow {CI} = overrightarrow {AI} – overrightarrow {AC} $ $ = koverrightarrow {AM} – overrightarrow {AC} $ $ = k(overrightarrow {AB} + overrightarrow {BM} ) – overrightarrow {AC} $ $ = kleft( {overrightarrow {AB} + frac{1}{3}overrightarrow {BC} } right) – overrightarrow {AC} .$
Hay $overrightarrow {CI} = kleft( {overrightarrow {AB} + frac{1}{3}overrightarrow {AC} – frac{1}{3}overrightarrow {AB} } right) – overrightarrow {AC} $ $ = frac{{2k}}{3}overrightarrow {AB} + left( {frac{k}{3} – 1} right)overrightarrow {AC} .$
Mặt khác $overrightarrow {CN} = overrightarrow {AN} – overrightarrow {AC} $ $ = frac{1}{3}overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} .$
Vì $overrightarrow {CI} $, $overrightarrow {CN} $ cùng phương nên $2k = 1 – frac{k}{3}$ $ Rightarrow k = frac{3}{7}.$
$overrightarrow {AI} = frac{3}{7}overrightarrow {AM} $ $ = frac{3}{7}(overrightarrow {AB} + overrightarrow {BM} )$ $ = frac{3}{7}left( {overrightarrow {AB} + frac{1}{3}overrightarrow {AC} – frac{1}{3}overrightarrow {AB} } right)$ $ = frac{2}{7}overrightarrow {AB} + frac{1}{7}overrightarrow {AC} .$
Suy ra $overrightarrow {BI} = overrightarrow {AI} – overrightarrow {AB} $ $ = frac{2}{7}overrightarrow {AB} + frac{1}{7}overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} $ $ = – frac{5}{7}overrightarrow {AB} + frac{1}{7}overrightarrow {AC} .$
$overrightarrow {IC} = overrightarrow {AC} – overrightarrow {AI} $ $ = overrightarrow {AC} – left( {frac{2}{7}overrightarrow {AB} + frac{1}{7}overrightarrow {AC} } right)$ $ = – frac{2}{7}overrightarrow {AB} + frac{6}{7}overrightarrow {AC} .$
Do đó $overrightarrow {BI} .overrightarrow {IC} $ $ = left( { – frac{5}{7}overrightarrow {AB} + frac{1}{7}overrightarrow {AC} } right)left( { – frac{2}{7}overrightarrow {AB} + frac{6}{7}overrightarrow {AC} } right)$ $ = frac{1}{{49}}left( {10{{overrightarrow {AB} }^2} + 6{{overrightarrow {AC} }^2} – 32overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right).$
Vì tam giác $ABC$ đều nên $AB = AC$, $overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = AB.AC.cos A$ $ = frac{1}{2}A{B^2}.$
Suy ra $overrightarrow {BI} .overrightarrow {IC} = 0.$
Vậy $BI bot IC.$
Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ACM$, $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng $GI$ vuông góc với $CM.$
Đặt $overrightarrow {AB} = overrightarrow x $, $overrightarrow {AC} = overrightarrow y $ và $AB = AC = a.$ Ta có:
$overrightarrow {CM} = overrightarrow {AM} – overrightarrow {AC} $ $ = frac{1}{2}overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} $ $ = frac{1}{2}vec x – overrightarrow y $ $(1).$
Gọi $J$ là trung điểm $CM$, ta có:
$overrightarrow {AG} = frac{2}{3}overrightarrow {AJ} $ $ = frac{1}{3}(overrightarrow {AM} + overrightarrow {AC} )$ $ = frac{1}{3}left( {frac{1}{2}overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right)$ $ = frac{1}{6}overrightarrow x + frac{1}{3}overrightarrow y .$
Mặt khác:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{IA = IB}\
{IA = IC}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{I{A^2} = I{B^2}}\
{I{A^2} = I{C^2}}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{I{A^2} = {{(overrightarrow {IA} + overrightarrow {AB} )}^2}}\
{I{A^2} = {{(overrightarrow {IA} + overrightarrow {AC} )}^2}}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{overrightarrow {AI} .overrightarrow x = frac{{{a^2}}}{2}}\
{overrightarrow {AI} .vec y = frac{{{a^2}}}{2}}
end{array}} right.$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:
$overrightarrow {CM} .overrightarrow {GI} $ $ = overrightarrow {CM} .(overrightarrow {AI} – overrightarrow {AG} )$ $ = left( {frac{1}{2}overrightarrow x – overrightarrow y } right)left( {overrightarrow {AI} – frac{1}{6}overrightarrow x – frac{1}{3}overrightarrow y } right).$
$ = frac{1}{2}vec x.overrightarrow {AI} – vec y.overrightarrow {AI} $ $ – frac{1}{{12}}{x^2} + frac{1}{6}vec x.vec y$ $ – frac{1}{6}vec x.vec y + frac{1}{3}{y^2}.$
$ = frac{{{a^2}}}{4} – frac{{{a^2}}}{2} – frac{{{a^2}}}{{12}} + frac{{{a^2}}}{3} = 0.$
Suy ra $GI$ vuông góc với $CM.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ thỏa mãn hệ thức $A{C^2} + B{D^2} = A{D^2} + B{C^2}.$ Chứng minh rằng $AB bot CD.$
Bài 2: Cho hình vuông $ABCD$, $M$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM = frac{{AC}}{4}$, $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $DC.$ Chứng minh rằng $BMN$ là tam giác vuông cân.
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại đỉnh $A.$ Trên các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ ta lấy các điểm $M$, $N$, $E$ sao cho $frac{{AM}}{{MB}} = frac{{BN}}{{NC}} = frac{{CE}}{{EA}}.$ Chứng minh rằng $AN bot ME.$
Bài 4: Cho tam giác đều $ABC$, độ dài cạnh là $3a.$ Lấy $M$, $N$, $P$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ sao cho $BM = a$, $CN = 2a$, $AP = x.$ Tính $x$ để $AM$ vuông góc với $PN.$
Bài 5: Cho hình chữ nhật $ABCD.$ Kẻ $BK bot AC.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AK$ và $CD.$ Chứng minh rằng $widehat {BMN} = {90^0}.$
Bài 6: Cho hình thang vuông $ABCD$ có đường cao $AB = 2a$, đáy lớn $BC = 3a$, đáy nhỏ $AD = a.$ $I$ là trung điểm của $CD.$ Chứng minh rằng $AI bot BD.$
Bài 7: Cho tứ giác lồi $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O.$ Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $ABO$ và $CDO.$ Và $I$, $J$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $BC.$ Chứng minh rằng $HK$ vuông góc với $IJ.$
Bài 8: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Gọi $H$ là trung điểm của $BC.$ $D$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$, $M$ là trung điểm của $HD.$ Chứng minh rằng $AM$ vuông góc với $DB.$
Bài 9: Cho tam giác $ABC$ không cân. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ tương ứng tại $A’$, $B’$ và $C’.$ Gọi $P$ là giao điểm của $BC$ với $B’C’.$ Chứng minh rằng $IP$ vuông góc $AA’.$
Bài 10: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4$, $AC = 8$ và $widehat A = {60^0}.$ Lấy điểm $E$ trên tia $AC$ và đặt $overrightarrow {AE} = koverrightarrow {AC} .$ Tìm $k$ để $BE$ vuông góc với trung tuyến $AF$ của tam giác $ABC.$
Bài 11: Cho tam giác $ABC$ có $BC = a$, $CA = b$, $AB = c$ và $G$ là trọng tâm, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Tìm điều kiện của $a$, $b$, $c$ để $IG$ vuông góc với $IC.$
Bài 12: Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại $M$, $P$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD.$ Chứng minh rằng: $MP bot BC$ $ Leftrightarrow overrightarrow {MA} .overrightarrow {MC} = overrightarrow {MD} .overrightarrow {MB} .$
Bài 13: Cho tam giác $ABC$ có ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H.$ Qua $A$ vẽ các đường thẳng song song với $BE$, $CF$ lần lượt cắt các đường thẳng $CF$, $BE$ tại $P$ và $Q.$ Chứng minh rằng $PQ$ vuông góc với trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC.$
II. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ BIỂU THỨC HÌNH HỌC
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các bất đẳng thức:
Cho $vec a$, $vec b$ bất kì. Khi đó ta có:
+ $vec a.vec b le |vec a|.|vec b|$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $cos (vec a,vec b) = 1$ hay $vec a$, $vec b$ cùng hướng.
+ $vec a.vec b ge – |vec a|.|vec b|$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $cos (vec a,vec b) = – 1$ hay $vec a$, $vec b$ ngược hướng.
${vec u^2} ge 0$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $overrightarrow u = vec 0.$
Bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, Bunhiacopxki …).
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và $M$ là một điểm bất kỳ. Chứng minh rằng: $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ $ ge MA.GA + MB.GB + MC.GC$ $ ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}.$
Ta có $overrightarrow {MA} .overrightarrow {MG} $ $ = MA.MG.cos (overrightarrow {MA} ;overrightarrow {MG} )$ $ le MA.MG.$
Tương tự $MB.GB ge overrightarrow {MB} .overrightarrow {GB} $, $MC.GC ge overrightarrow {MC} .overrightarrow {GC} .$
Suy ra $MA.GA + MB.GB + MC.GC$ $ ge overrightarrow {MA} .overrightarrow {GA} + overrightarrow {MB} .overrightarrow {GB} + overrightarrow {MC} .overrightarrow {GC} .$
Mặt khác:
$overrightarrow {MA} .overrightarrow {GA} + overrightarrow {MB} .overrightarrow {GB} + overrightarrow {MC} .overrightarrow {GC} $ $ = (overrightarrow {MG} + overrightarrow {GA} )overrightarrow {GA} $ $ + (overrightarrow {MG} + overrightarrow {GB} )overrightarrow {GB} $ $ + (overrightarrow {MG} + overrightarrow {GC} )overrightarrow {GC} .$
$ = overrightarrow {MG} (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} )$ $ + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ $ = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}.$
Suy ra $MA.GA + MB.GB + MC.GC$ $ ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ $(*).$
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ $ + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ $ ge 2MA.GA + 2MB.GB + 2MC.GC.$
Kết hợp $(*)$ suy ra:
$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ $ + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ $ ge MA.GA + MB.GB + MC.GC$ $ + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}.$
Hay $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ $ ge MA.GA + MB.GB + MC.GC.$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
Ta có: $GA = frac{2}{3}{m_a}$, $GB = frac{2}{3}{m_b}$, $GC = frac{2}{3}{m_c}.$
$ Rightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ $ = frac{4}{9}left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} right)$ $ = frac{1}{3}left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} right).$
Suy ra với mọi điểm $M$ thì:
${m_a}.MA + {m_b}.MB + {m_c}.MC$ $ ge frac{1}{2}left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} right).$
$3left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}} right)$ $ ge {a^2} + {b^2} + {c^2}.$
$3left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}} right)$ $ ge 2left( {{m_a}.MA + {m_b}.MB + {m_c}.MC} right).$
Đặc biệt:
Với $M equiv O$ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có:
$O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}$ $ ge OA.GA + OB.GB + OC.GC$ $ ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}.$
Mặt khác ta có $OA = OB = OC = R$, ta có:
$R(GA + GB + GC) le 3{R^2}$ hay ${m_a} + {m_b} + {m_c} le frac{9}{2}R$ suy ra $frac{1}{{{m_a}}} + frac{1}{{{m_b}}} + frac{1}{{{m_c}}} ge frac{2}{R}.$
$R(GA + GB + GC)$ $ ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ hay $frac{{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}}{{{m_a} + {m_b} + {m_c}}} le frac{{3R}}{2}.$
$3{R^2} ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ hay $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 le frac{{27}}{4}{R^2}$, $9{R^2} ge {a^2} + {b^2} + {c^2}.$
Với $M equiv I$, tâm đường tròn nội tiếp tam giác, ta có:
$IA.GA + IB.GB + IC.GC$ $ ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}.$
Mặt khác $IA = frac{r}{{sin frac{A}{2}}}$, $IB = frac{r}{{sin frac{B}{2}}}$, $IC = frac{r}{{sin frac{C}{2}}}$ do đó ta có:
$frac{{{m_a}}}{{sin frac{A}{2}}} + frac{{{m_b}}}{{sin frac{B}{2}}} + frac{{{m_c}}}{{sin frac{C}{2}}}$ $ ge frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2r}}.$
Với $M equiv H$ ta được $3left( {H{A^2} + H{B^2} + H{C^2}} right)$ $ ge {a^2} + {b^2} + {c^2}.$
Xét tam giác $ABC$ nhọn khi đó ta có:
$HC = frac{{CA’}}{{sin CHA’}} = frac{{CA’}}{{sin B}}$ $ = frac{{AC.cos C}}{{sin B}} = 2Rcos C.$
Tương tự ta cũng có: $HB = 2Rcos B$, $HC = 2Rcos C.$
Do đó ${cos ^2}A + {cos ^2}B + {cos ^2}C ge {left( {frac{p}{{3R}}} right)^2}.$
Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ. Chứng minh rằng $cos frac{A}{2}.MA + cos frac{B}{2}.MB + cos frac{C}{2}.MC$ $ ge frac{{a + b + c}}{2}.$
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$
Ta có: $a.overrightarrow {IA} + b.overrightarrow {IB} + c.overrightarrow {IC} = vec 0.$
$ Rightarrow frac{{cos frac{A}{2}}}{{IA}}overrightarrow {IA} + frac{{cos frac{B}{2}}}{{IB}}overrightarrow {IB} + frac{{cos frac{C}{2}}}{{IC}}overrightarrow {IC} = vec 0.$
Vì $cos frac{A}{2}.MA = frac{{cos frac{A}{2}}}{{IA}}.MA.IA$ $ ge frac{{cos frac{A}{2}}}{{IA}}.overrightarrow {MA} .overrightarrow {IA} .$
Tương tự ta có $cos frac{B}{2}.MB ge frac{{cos frac{B}{2}}}{{IB}}.overrightarrow {MB} .overrightarrow {IB} $ và $cos frac{C}{2}.MC ge frac{{cos frac{C}{2}}}{{IC}}.overrightarrow {MC} .overrightarrow {IC} .$
Mà $frac{{cos frac{A}{2}}}{{IA}}.overrightarrow {MA} .overrightarrow {IA} $ $ + frac{{cos frac{B}{2}}}{{IB}}.overrightarrow {MB} .overrightarrow {IB} $ $ + frac{{cos frac{C}{2}}}{{IC}}.overrightarrow {MC} .overrightarrow {IC} .$
$ = overrightarrow {MI} left( {frac{{cos frac{A}{2}}}{{IA}}overrightarrow {IA} + frac{{cos frac{B}{2}}}{{IB}}overrightarrow {IB} + frac{{cos frac{C}{2}}}{{IC}}overrightarrow {IC} } right)$ $ + cos frac{A}{2}.IA + cos frac{B}{2}.IB + cos frac{C}{2}.IC.$
$ = cos frac{A}{2}.IA + cos frac{B}{2}.IB + cos frac{C}{2}.IC$ $ = AE + BF + CD$ $ = frac{{a + b + c}}{2}.$
Do đó $cos frac{A}{2}.MA + cos frac{B}{2}.MB + cos frac{C}{2}.MC$ $ ge frac{{a + b + c}}{2}.$
Tổng quát: Cho đa giác lồi ${A_1}{A_2} ldots {A_n}$ $(n ge 3)$ ngoại tiếp đường tròn tâm $J.$ Chứng minh rằng với điểm $M$ bất kỳ thì $sumlimits_{i = 1}^n {cos } frac{{{A_i}}}{2}.left( {M{A_i} – J{A_i}} right) ge 0.$
Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ với $G$ là trọng tâm. Qua điểm $O$ bất kỳ nằm trong tam giác kẻ đường thẳng song song với $GA$, $GB$, $GC$ tương ứng cắt $CA$, $AB$, $BC$ tại các điểm $A’$, $B’$, $C’.$ Xác định vị trí điểm $M$ để ${m_a}MA’ + {m_b}MB’ + {m_c}MC’$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có ${m_a}.MA’ = frac{3}{2}GA.MA’$ $ ge frac{3}{2}overrightarrow {GA} .overrightarrow {MA’} $ $ = frac{3}{2}overrightarrow {GA} .(overrightarrow {MO} + overrightarrow {OA’} ).$
Tương tự ${m_b}.MB’ ge frac{3}{2}overrightarrow {GB} .left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OB’} } right)$, ${m_c}.MC’ ge frac{3}{2}overrightarrow {GC} .(overrightarrow {MO} + overrightarrow {OC’} ).$
Suy ra:
${m_a}MA’ + {m_b}MB’ + {m_c}MC’$ $ ge frac{3}{2}(overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} )$ $ + frac{3}{2}left( {overrightarrow {GA} .overrightarrow {OA’} + overrightarrow {GB} .overrightarrow {OB’} + overrightarrow {GC} .overrightarrow {OC’} } right).$
Hay ${m_a}.MA’ + {m_b}.MB’ + {m_c}.MC’$ $ ge {m_a}OA’ + {m_b}OB’ + {m_c}OC’.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ trùng với $O.$
Vậy với $M$ trùng với $O$ thì ${m_a}MA’ + {m_b}MB’ + {m_c}MC’$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ và ba số thực $x$, $y$, $z.$ Chứng minh rằng ${x^2} + {y^2} + {z^2}$ $ ge 2yzcos A + 2zxcos B + 2xycos C.$
Gọi $(I;r)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $M$, $N$, $P.$
Khi đó ${(x.overrightarrow {IM} + y.overrightarrow {IN} + z.overrightarrow {IP} )^2} ge 0.$
$ Leftrightarrow {x^2}.I{M^2} + {y^2}.I{N^2} + {z^2}.I{P^2}$ $ + 2xyoverrightarrow {IM} .overrightarrow {IN} + 2yzoverrightarrow {IN} .overrightarrow {IP} + 2zxoverrightarrow {IP} .overrightarrow {IM} ge 0.$
$ Leftrightarrow left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} right){r^2}$ $ + 2{r^2}left[ {xycos left( {{{180}^0} – C} right) + yzcos left( {{{180}^0} – A} right) + zxcos left( {{{180}^0} – B} right)} right] ge 0.$
$ Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2}$ $ ge 2yzcos A + 2zxcos B + 2xycos C.$
Nhận xét:
+ Khi chọn $x = y = z = 1$ ta có: $cos A + cos B + cos C le frac{3}{2}.$
+ Khi chọn $y = z = 1$ ta có $cos A + x(cos B + cos C)$ $ le 1 + frac{1}{2}{x^2}.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ và ba số thực $x$, $y$, $z.$ Chứng minh rằng: $yzcos 2A + zxcos 2B + xycos 2C$ $ le – frac{1}{2}left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} right).$
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ không đều nội tiếp đường tròn $(O).$ Tìm trên đường tròn điểm $M$ để có tổng bình phương khoảng cách từ đó đến ba đỉnh tam giác là nhỏ nhất, lớn nhất.
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Gọi $alpha $ là góc giữa hai trung tuyến $BD$ và $CK.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $cos alpha .$
Bài 4: Cho $M$ là một điểm bất kì nằm trong mặt phẳng tam giác $ABC.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $T = frac{{MA}}{a} + frac{{MB}}{b} + frac{{MC}}{c}.$
Bài 5: Cho tam giác $ABC.$ Tìm điểm $M$ sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: $T = 2cos frac{A}{2}.MA + MB + MC.$
Bài 6: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:
a) $am_a^2 + bm_b^2 + cm_c^2 ge frac{9}{4}abc.$
b) $a{m_b}{m_c} + b{m_c}{m_a} + c{m_a}{m_b} ge frac{9}{4}abc.$
c) $frac{{m_a^2}}{a} + frac{{m_b^2}}{b} + frac{{m_c^2}}{c} ge frac{9}{4}.frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{ab + bc + ca}}.$
Bài 7: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:
a) ${a^2} + {b^2} + {c^2} le 9{R^2}.$
b) $R ge 2r.$
c) ${R^2} + {a^2} + {b^2} ge {c^2}.$
d) $4S le (ab + bc + ca)sqrt {frac{{abc}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}} .$
e) ${(a – b)^2} + {(b – c)^2} + {(c – a)^2}$ $ le 8R(R – 2r).$
Bài 8: Cho tam giác $ABC$ nhọn. Tìm điểm $M$ sao cho $MA + 2MB + sqrt 3 MC$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 9: Cho đa giác lồi ${A_1}{A_2} ldots {A_n}$ $(n ge 3)$, $overrightarrow {{e_i}} $ $(i = overline {1,n} )$, $O$ là điểm bất kỳ nằm trong đa giác. Gọi ${B_i}$ là hình chiếu điểm $O$ lên ${A_i}{A_{i + 1}}.$ Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta cό $sumlimits_{i = 1}^n {{A_i}} {A_{i + 1}}left( {M{B_i} – O{B_i}} right) ge 0.$
Bài 10: Cho đa giác đều ${A_1}{A_2} ldots {A_n}.$ Tìm điểm $M$ sao cho tổng $M{A_1} + M{A_2} + ldots + M{A_n}$ nhỏ nhất.
Bài 11: Cho tam giác $ABC$, $O$ là điểm trong tam giác, đặt $widehat {BOC} = alpha $, $widehat {COA} = beta $, $widehat {AOB} = gamma .$ Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có $MAsin alpha + MBsin beta + MCsin gamma $ $ ge OAsin alpha + OBsin beta + OCsin gamma .$
Bài 12: Cho tam giác $ABC$, tìm vị trí điểm $M$ để $P = aM{A^2} + bM{B^2} + cM{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết:
a) $M$ là điểm bất kì.
b) $M$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
c) $M$ nằm trên đường thẳng $d$ bất kỳ.
Bài 13: Cho $n$ điểm ${A_1}{A_2} ldots {A_n}$ và $n$ số dương ${alpha _1}$, ${alpha _2}$ … ${alpha _n}$. $O$ là điểm thoả mãn $sumlimits_{i = 1}^n {{alpha _i}} overrightarrow {O{A_i}} = vec 0.$ Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có bất đẳng thức $sumlimits_{i = 1}^n {{alpha _i}} MA_i^2 ge sumlimits_{i = 1}^n {{alpha _i}} O{A_i}.M{A_i} ge sumlimits_{i = 1}^n {{alpha _i}} OA_i^2.$
Bài 14: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A.$ Xác định điểm $M$ sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
a) $sqrt 2 MA + MB + MC.$
b) $2sqrt 2 MA + sqrt {10} (MB + MC).$
Bài 15: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn $ABC$ ta luôn có:
${cos ^2}A + {cos ^2}B + {cos ^2}C$ $ ge 6cos A.cos B.cos C.$
Bài 16: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:
a) ${sin ^2}A + {sin ^2}B + {sin ^2}C le frac{9}{4}.$
b) $sin A + sin B + sin C le frac{{3sqrt 3 }}{2}.$
c) $sin A.sin B.sin C le frac{{3sqrt 3 }}{8}.$
d) ${cos ^2}frac{A}{2} + {cos ^2}frac{B}{2} + {cos ^2}frac{C}{2} le frac{9}{4}.$
e) $cos frac{A}{2} + cos frac{B}{2} + cos frac{C}{2} le frac{{3sqrt 3 }}{2}.$
f) $cos frac{A}{2}.cos frac{B}{2}.cos frac{C}{2} le frac{{3sqrt 3 }}{8}.$
III. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM TỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a) Bài toán: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua $M$ cắt đường tròn tại hai điểm $A$, $B.$ Chứng minh rằng $overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB} = M{O^2} – {R^2}.$
Chứng minh: Vẽ đường kính $BC$ của đường tròn $(O;R).$ Ta có $overrightarrow {MA} $ là hình chiếu của $overrightarrow {MC} $ lên đường thẳng $MB.$ Theo công thức hình chiếu ta có:
$overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB} = overrightarrow {MC} .overrightarrow {MB} $ $ = (overrightarrow {MO} + overrightarrow {OC} ).(overrightarrow {MO} + overrightarrow {OB} )$ $ = (overrightarrow {MO} – overrightarrow {OB} ).(overrightarrow {MO} + overrightarrow {OB} )$ $ = M{O^2} – O{B^2}$ $ = M{O^2} – {R^2}.$
Từ bài toán trên ta có định nghĩa sau:
b) Định nghĩa: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua $M$ cắt đường tròn tại hai điểm $A$, $B.$ Khi đó $overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB} = M{O^2} – {R^2}.$ là đại lượng không đổi được gọi là phương tích của điểm $M$ đối với đường tròn $(O;R)$, kí hiệu là ${P_{M/left( O right)}}.$
Chú ý: Nếu $M$ ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến $MT.$ Khi đó: ${P_{M/(O)}} = M{T^2} = M{O^2} – {R^2}.$
c) Các tính chất
Cho hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $M.$ Điều kiện cần và đủ để bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ nội tiếp được đường tròn là:
$overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB} = overrightarrow {MC} .overrightarrow {MD} $ (hay $overline {MA} .overline {MB} = overline {MC} .overline {MD} $).
Cho đường thẳng USD AB USD cắt đường thẳng USD Delta USD tại USD M USD và điểm USD C USD trên đường thẳng USD Delta USD USD ( C ne M ). USD Điều kiện cần và đủ để USD Delta USD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác USD ABC USD tại USD C USD là USD MA.MB = M { C ^ 2 }. USD
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao $AA’$, $BB’$, $CC’$ cắt nhau tại $H.$ Chứng minh rằng $HA.HA’ = HB.HB’ = HC.HC’.$
Ta có $widehat {BB’C} = widehat {BC’C} = {90^0}$ suy ra tứ giác $BCB’C’$ nội tiếp trong đường tròn $(C)$ đường kính $BC.$ Do đó $HB.HB’ = HC.HC’$ (vì cùng bằng phương tích từ điểm $H$ tới đường tròn $(C)$) $(1).$
Tương tự tứ giác $ACA’C’$ nội tiếp được nên $HA.HA’ = HC.HC’$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $HA.HA’ = HB.HB’ = HC.HC’.$
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $P$ cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi $AB$ và $CD$ luôn đi qua điểm $P$ và vuông góc với nhau.
a) Chứng minh rằng $A{B^2} + C{D^2}$ không đổi.
b) Chứng minh rằng $P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}$ không phụ thuộc vị trí điểm $P.$
a) Gọi $E$, $F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$, $CD$ suy ra $OE bot AB$ và $OF bot CD.$
Ta có $A{B^2} + C{D^2}$ $ = {(2AE)^2} + {(2CF)^2}$ $ = 4left( {A{O^2} – O{E^2}} right) + 4left( {C{O^2} – O{F^2}} right)$ $ = 4left[ {2{R^2} – left( {O{E^2} + O{F^2}} right)} right]$ $ = 4left( {2{R^2} – O{P^2}} right).$
Suy ra $A{B^2} + C{D^2}$ không đổi.
b) $P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}$ $ = {(PA + PB)^2}$ $ + {(PC + PD)^2}$ $ – 2PA.PB – 2PC.PD$ $ = A{B^2} + C{D^2}$ $ + 2overrightarrow {PA} .overrightarrow {PB} + 2overrightarrow {PC} .overrightarrow {PD} .$
Mặt khác theo câu a ta có: $A{B^2} + C{D^2}$ $ = 4left( {2{R^2} – O{P^2}} right)$ và ${P_{P/(O)}} = overrightarrow {PA} .overrightarrow {PB} = overrightarrow {PC} .overrightarrow {PD} $ $ = P{O^2} – {R^2}.$
Suy ra $P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}$ $ = 4left( {2{R^2} – O{P^2}} right) + 4left( {P{O^2} – {R^2}} right)$ $ = 4{R^2}.$
Vậy $P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}$ không phụ thuộc vị trí điểm $P.$
Ví dụ 3: Cho đường tròn đường kính $AB$ và đường thẳng $Delta $ vuông góc với $AB$ ở $H$ ($H ne A$, $H ne B$). Một đường thẳng quay quanh $H$ cắt đường tròn ở $M$, $N$ và các đường thẳng $AM$, $AN$ lần lượt cắt $Delta $ ở $M’$, $N’.$
a) Chứng minh rằng bốn điểm $M$, $N$, $M’$, $N’$ thuộc một đường tròn $(C)$ nào đó.
b) Chứng minh rằng các đường tròn $(C)$ luôn đi qua hai điểm cố định.
a) Vì $widehat {M’HB} = widehat {M’MB} = {90^0}$ nên tứ giác $BHM’M$ nội tiếp được, suy ra: $overrightarrow {AH} .overrightarrow {AB} = overrightarrow {AM’} .overrightarrow {AM} $ $(1).$
Tương tự: Vì $widehat {N’HB} = widehat {N’NB} = {90^0}$ nên tứ giác $HBN’N$ nội tiếp được, suy ra: $overrightarrow {AH} .overrightarrow {AB} = overrightarrow {AN’} .overrightarrow {AN} $ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $overrightarrow {AM’} .overrightarrow {AM} = overrightarrow {AN’} .overrightarrow {AN} .$
Suy ra bốn điểm $M$, $N$, $M’$, $N’$ thuộc một đường tròn.
b) Gọi $P$, $Q$ lần lượt là các giao điểm của đường tròn $(C)$ với đường thẳng $AB$ và $E$, $F$ lần lượt là giao điểm của $Delta $ với đường tròn đường kính $AB.$
Khi đó ta có $overrightarrow {AP} .overrightarrow {AQ} = overrightarrow {AM} .overrightarrow {AM’} = overrightarrow {AH} .overrightarrow {AB} .$
Mặt khác:
$overrightarrow {AH} .overrightarrow {AB} = (overrightarrow {AE} + overrightarrow {EH} )overrightarrow {AB} $ $ = overrightarrow {AE} .(overrightarrow {AE} + overrightarrow {EB} ) = A{E^2}$ và $overrightarrow {AH} .overrightarrow {AB} = (overrightarrow {AF} + overrightarrow {FH} )overrightarrow {AB} $ $ = overrightarrow {AF} .(overrightarrow {AF} + overrightarrow {FB} ) = A{F^2}.$
Suy ra $overrightarrow {AP} .overrightarrow {AQ} = A{E^2} = A{F^2}.$
Do đó $P$, $Q$ thuộc đường tròn $(S)$ tiếp xúc với $AE$, $AF$ ở $E$, $F.$
Vì $(S)$ là đường tròn cố định nên $P$, $Q$ cố định thuộc đường tròn $(C).$
Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R.$ Giả sử $M$ là điểm di động trong đường tròn $(O).$ Nối $AM$, $BM$, $CM$ lần lượt cắt $(O)$ tại $A’$, $B’$, $C’.$ Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $frac{{MA}}{{MA’}} + frac{{MB}}{{MB’}} + frac{{MC}}{{MC’}} = 3.$
Ta có $frac{{MA}}{{MA’}} + frac{{MB}}{{MB’}} + frac{{MC}}{{MC’}} = 3$ $ Leftrightarrow frac{{M{A^2}}}{{MA’.MA}} + frac{{M{B^2}}}{{MB’.MB}} + frac{{M{C^2}}}{{MC’.MC}} = 3$ $ Leftrightarrow – frac{{M{A^2}}}{{overrightarrow {MA’} .overrightarrow {MA} }} – frac{{M{B^2}}}{{overrightarrow {MB’} .overrightarrow {MB} }} – frac{{M{C^2}}}{{overrightarrow {MC’} .overrightarrow {MC} }} = 3$ $(*).$
Mặt khác:
${P_{M/(O)}} = overrightarrow {MA’} .overrightarrow {MA} $ $ = overrightarrow {MB’} .overrightarrow {MB} = overrightarrow {MC’} .overrightarrow {MC} $ $ = M{O^2} – {R^2}.$
Suy ra $(*) Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ $ = – 3left( {M{O^2} – {R^2}} right)$ $(1).$
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $I$ là trung điểm $GO.$
Ta có:
$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ $ = {(overrightarrow {MG} + overrightarrow {GA} )^2}$ $ + {(overrightarrow {MG} + overrightarrow {GB} )^2}$ $ + {(overrightarrow {MG} + overrightarrow {GC} )^2}$ $ = 3M{G^2}$ $ + 2overrightarrow {MG} (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} )$ $ + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ $ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ $ = – 3left( {M{O^2} – {R^2}} right).$
$ Leftrightarrow M{G^2} + M{O^2}$ $ = {R^2} – frac{1}{3}left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} right).$
$ Leftrightarrow {(overrightarrow {MI} + overrightarrow {IG} )^2} + {(overrightarrow {MI} + overrightarrow {IO} )^2}$ $ = {R^2} – frac{1}{3}left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} right).$
$ Leftrightarrow 2M{I^2} + 2I{O^2}$ $ = {R^2} – frac{1}{3}left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} right).$
$ Leftrightarrow M{I^2}$ $ = frac{1}{2}{R^2} – frac{1}{6}left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} right) – I{O^2}$ $ Leftrightarrow MI = k.$
Trong đó ${k^2}$ $ = frac{1}{2}{R^2} – frac{1}{6}left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} right) – I{O^2}.$
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R = k.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Trong đường tròn tâm $(O;R)$ cho hai dây cung $AA’$ và $BB’$ vuông góc với nhau tại $S.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$ Chứng minh rằng $SM bot A’B’.$
Bài 2: Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$, $AA’$, $BB’$ là các tiếp tuyến chung ngoài của chúng, đường thẳng $AB’$ theo thứ tự cắt $(O)$ và $(O’)$ tại $M$, $N.$ Chứng minh rằng $AM = B’N.$
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$, $AM$, $AD$ lần lượt là trung tuyến, phân giác của tam giác. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMD$ cắt $AB$, $AC$ tại $E$, $F.$ Chứng minh rằng $BE = CF.$
Bài 4: Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A$, $B$ cố định. Một đường thẳng quay quanh $A$, cắt $(O)$ tại $M$ và $N.$ Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMN$ thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 5: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $P$ cố định nằm trong đường tròn. Giả sử $AB$ là dây cung thay đổi luôn đi qua $P.$ Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$, $B$ cắt nhau tại $C.$ Tìm tập hợp điểm $C.$
Bài 6: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và điểm $H$ cố định thuộc $AB.$ Từ điểm $K$ thay đổi trên tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$, vẽ đường tròn $(K;KH)$ cắt $(O)$ tại $C$ và $D.$ Chứng minh rằng $CD$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 7: Cho đường tròn đường kính $AB$, $H$ là điểm nằm giữa $AB$ và đường thẳng $Delta $ vuông góc với $AB$ tại $H.$ Gọi $E$, $F$ là giao điểm của đường tròn và $Delta.$ Vẽ đường tròn tâm $A$, bán kính $AE$ và đường tròn $(C)$ bất kì qua $H$, $B.$ Giả sử hai đường tròn đó cắt nhau tại $M$ và $N$, chứng minh rằng $AM$ và $AN$ là hai tiếp tuyến của $(C).$
Bài 8: Cho hai đường tròn đồng tâm $O$ là $left( {{C_1}} right)$ và $left( {{C_2}} right)$ ($left( {{C_2}} right)$ nằm trong $left( {{C_1}} right)$). Từ một điểm $A$ nằm trên $left( {{C_1}} right)$ kẻ tiếp tuyến $AB$ tới $left( {{C_2}} right).$ $AB$ giao $left( {{C_1}} right)$ lần thứ hai tại $C$, $D$ là trung điểm của $AB.$ Một đường thẳng qua $A$ cắt $left( {{C_2}} right)$ tại $E$, $F$ sao cho đường trung trực của đoạn $DF$ và $EC$ giao nhau tại điểm $M$ nằm trên $AC.$ Tính $frac{{AM}}{{MC}}.$
Bài 9: Cho đường tròn $(O;R)$ và hai điểm $P$, $Q$ cố định ($P$ nằm ngoài $(O)$, $Q$ nằm trong $(O)$). Dây cung $AB$ của $(O)$ luôn đi qua $Q.$ $PA$, $PB$ lần lượt giao $(O)$ lần thứ hai tại $D$, $C.$ Chứng minh rằng $CD$ luôn đi qua điểm cố định.
Bài 10: Cho hai đường tròn không đồng tâm $left( {{O_1};{R_1}} right)$ và $left( {{O_2};{R_2}} right).$ Tìm tập hợp các điểm $M$ có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau.
