Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ cực hay

Content:

1 Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ cực hay

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ cực hay

Bài giảng: Cách giải phương trình mũ – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

Hướng 1:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f ( x ) = k .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f ( x ) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu
• Bước 3. Nhận xét :
+ Với x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k do đó x = x0 là nghiệm .
+ Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x0 ) = k do đó phương trình vô nghiệm .
+ Với x Hướng 2:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f ( x ) = g ( x ) .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ). Khẳng định hàm số y = f ( x ) là hàm số đồng biến còn y = g ( x ) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng .
• Bước 3. Xác đinh x0 sao cho f ( x0 ) = g ( x0 .
• Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình .

Hướng 3:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f ( u ) = f ( v ) .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f ( x ). Khẳng định hàm số đơn điệu .
• Bước 3. Khi đó f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v .

Ví dụ minh họa

Quảng cáo

Bài 1: Giải phương trình x+2.3log2 x = 3 (*).

Hướng dẫn:

Ta có : ( * ) ⇔ 2.3 log2x = 3 – x ( 1 ) .
Nhận xét :
+ Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến .
+ Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến .
Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất .
Mặt khác : x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 } .

Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

⇒ x2 – 3 x + 2 = u2 ⇒ 3 x – x2 – 1 = 1 – u2 .
Khi đó phương trình ( * ) có dạng

Xét hàm số :

+ Miền xác lập : D = [ 0 ; + ∞ ) .

+ Đạo hàm ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên D.

Mặt khác f ( 1 ) = log3 ( 1 + 2 ) + ( 1/5 ). 5 = 2 .
Do đó, phương trình ( 1 ) được viết dưới dạng

Bài 3: Giải phương trình 2×2-x + 93-2x + x2 + 6 = 42x-3 + 3x – x2 + 5x (*).

Quảng cáo

Hướng dẫn:

Ta có : ( * ) ⇔ 2×2 – x + 36-4 x + x2 + 6 = 24 x – 6 + 3 x – x2 + 5 x .
⇔ 2×2 – x + x2 – x – 3 x – x2 = 24 x – 6 + 4 x – 6 – 36-4 x .

ta được 2 u + u – 3 – u = 2 v + v – 3 – v .
Xét hàm số :

⇒ f'(t) là hàm số đồng biến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v.

Ta có phương trình :

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 ; 6 } .

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình 9x = 5x+4x+2(√20)x

Hiển thị đáp án

nên vế trái của ( 1 ) là hàm số nghịch biến trên R .
Mặt khác : f ( 2 ) = 1 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 2 } .

Bài 2: Giải phương trình 3.xlog3 x+(log3 x-1)2 = x2

Hiển thị đáp án
Điều kiện : x > 0 .
Đặt t = log3 x ⇔ x = 3 t .
Phương trình ( * ) 3. ( 3 t ) t + ( t-1 ) 2 = 32 t ⇔ 3 t2 + 1 + t2 + 1 = 32 t + 2 t. ( 1 )
Xét hàm số : f ( t ) = 3 t + t ⇒ f ‘ ( t ) = 3 t ln3 + 1 > 0, ∀ t ∈ R.
Suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên R.
Phương trình ( 1 ) ⇔ f ( t2 + 1 ) = f ( 2 t ) ⇔ t2 + 1 = 2 t ⇔ t = 1 .
Với t = 1 ⇒ x = 3 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 3 } .

Bài 3: Giải phương trình 2x+3x = 5x

Hiển thị đáp án
Do 5 x > 0, ∀ x ∈ R. Chia cả 2 về của phương trình ( * ) cho 5 x ta được :

Suy ra hàm số f ( t ) nghịch biến trên R.
Lại có f ( 1 ) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 } .

Bài 4: Giải phương trình 3x+x-4=0

Hiển thị đáp án
Xét hàm số : f ( t ) = 3 t + t-4 ⇒ f ‘ ( t ) = 3 t ln ( 3 ) + 1 > 0, ∀ t ∈ R.
Suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên R.
Lại có f ( 1 ) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 } .

Bài 5: Giải phương trình 3x.2x = 3x+2x+1

Hiển thị đáp án
Nhận xét : Ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ± 1 .
Với x = 50% không là nghiệm của phương trình nên

Ta có hàm số y = 3 x là hàm số đồng biến trên R .

là hàm số nghịch biến trên ( – ∞ ; 50% ) và ( 50% ; + ∞ ) .
Nên hàm số có hai nghiệm x = ± 1 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { ± 1 } .

Bài 6: Giải phương trình (√3-√2)x + (√3+√2)x = (√10)x

Hiển thị đáp án

Ta có : f ( 2 ) = 1
Hàm số f ( x ) nghịch biến trên R

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2 .

Bài 7: Giải phương trình 12+6x = 4.3x+3.2x

Hiển thị đáp án

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 ; 2 } .

Bài 8: Giải phương trình 15x-3.5x+3x = 3

Hiển thị đáp án
Ta có : ( * ) ⇔ 3 x. 5 x – 3.5 x + 3 x – 3 = 0 ⇔ 5 x ( 3 x – 3 ) + 3 x – 3 = 0
⇔ ( 3 x – 3 ) ( 5 x + 1 ) = 0 ⇔ 3 x – 3 = 0 ⇔ x = 1 ( 5 x + 1 > 0 ∀ x ∈ R )
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 } .

Bài 9: Giải phương trình 4×2-3x+2 + 4×2+6x+5 = 42×2+3x+7+1

Hiển thị đáp án
Nhận xét : x2-3x+2 + x2 + 6 x + 5 = 2×2 + 3 x + 7
Ta có : ( * ) ⇔ 4×2 – 3 x + 2 – 42×2 + 3 x + 7 = 1 – 4×2 + 6 x + 5
⇔ ( 4×2 – 3 x + 2 – 1 ) ( 4×2 + 6 x + 5 – 1 ) = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { – 5 ; ± 1 ; 2 } .