Tích có hướng và ứng dụng

Định nghĩa tích có hướng. Công thức tích có hướng của hai vector trong khoảng trống. Tính chất của tích có hướng. Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích quy hoạnh hình bình hành. Ứng dụng tích có hướng tính thể tích của khối chóp và khối hộp. Quan hệ của tích có hướng và sự đồng phẳng của những vector .
Hình 1. Tích có hướng 

 

Định nghĩa tích có hướng của hai vector. 

Tích có hướng của hai vector $vec u$ và $vec v$ trong không gian,             ký hiệu là $left[ {vec u,vec v} right]$ hoặc $vec u wedge vec v,$ là vector $vec w$  thoả $3$ điều kiện 

 

  1. USD vec w USD có phương vuông góc với cả USD vec u USD và USD vec v USD .

  2. USD left | { vec w } right | = left | { vec u } right | cdot left | { vec v } right | cdot sin alpha, USD với USD alpha USD là góc hợp bởi USD vec u USD và USD vec v USD .

  3. bộ ba vector USD left ( { vec u, vec v, vec w } right ) USD tạo thành một bộ ba thuận. – xem Hình 1 .

 

Tính chất 1 . $$vec uparallel vec v Leftrightarrow left[ {vec u,vec v} right] = vec 0.$$

Công thức toạ độ của tích có hướng.

Toạ động của vector tích có hướng của hai vector $vec u = left( {{u_1};{u_2};{u_3}} right)$ và $vec v = left( {{v_1};{v_2};{v_3}} right)$ là 
$$left[ {vec u,vec v} right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2}}&{{u_3}}\
{{v_2}}&{{v_3}}
end{array}} right|; – left| {begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_3}}\
{{v_1}}&{{v_3}}
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\
{{v_1}}&{{v_2}}
end{array}} right|} right),$$
trong đó định thức $left| {begin{array}{*{20}{c}}
a&b\
c&d
end{array}} right| = ad – bc.$

READ:  TOP 8 app pha trộn màu sắc, phối màu chuẩn trên Android, iOS

Ví dụ 1.

Tích có hướng của hai vector $vec a = left( {2; – 1;3} right)$ và $vec b = left( {1;2;4} right)$ là 
$$left[ {vec a,vec b} right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&3\
2&4
end{array}} right|; – left| {begin{array}{*{20}{c}}
2&3\
1&4
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
2&{ – 1}\
1&2
end{array}} right|} right) = left( { – 10; – 5;5} right).$$

Ví dụ 2.

Dùng tích có hướng để kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm $Aleft( {1;3;1} right),Bleft( {0;1;2} right),Cleft( {0;0;1} right).$

Giải. Ta có USD overrightarrow { AB } = left ( { – 1 ; – 2 ; 1 } right ) USD, USD overrightarrow { AC } = left ( { – 1 ; – 3 ; 0 } right ). USD Suy ra USD USD left [ { overrightarrow { AB }, overrightarrow { AC } } right ] = left ( { 3 ; – 1 ; 1 } right ) ne overrightarrow 0. USD USD Theo đặc thù 1 thì hai vector USD overrightarrow { AB }, overrightarrow { AC } USD không cùng phương. Nghĩa là USD A $, USD B USD, USD C USD không thẳng hàng .

Tích hỗn tạp của 3 vector.

Tích hỗn tạp của 3 vector $vec u$, $vec v$ và $vec w$ là tích vô hướng của một vector bất kì với vector tích có hướng của hai vector còn lại: $left[ {vec u,vec v} right] cdot vec w$, $left[ {vec v,vec u} right] cdot vec w$, $left[ {vec w,vec v} right] cdot vec u$,… Có tất cả $A_3^2$ bộ như vậy.

Tính chất 2 . Ba vector $vec u$, $vec v$ và $vec w$ đồng phẳng khi tích hỗn tạp của chúng bằng $0$.

Ví dụ 3.

Dùng tích hỗn tạp đễ kiểm tra tính đồng phẳng của 3 vector sau $vec a = left( {2; – 1;3} right)$, $vec b = left( {1;2;4} right)$ và $vec c = left( {1;-2;0} right)$.

Giaỉ. Ta có $left[ {vec a,vec b} right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&3\
2&4
end{array}} right|; – left| {begin{array}{*{20}{c}}
2&3\
1&4
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
2&{ – 1}\
1&2
end{array}} right|} right) = left( { – 10; – 5;5} right).$
Suy ra $left[ {vec a,vec b} right] cdot vec c =  – 10 cdot 1 + left( { – 5} right)left( { – 2} right) + 5 cdot 0 = 0.$
Theo tính chất 2 thì ba vector $vec a,vec b,vec c$ đồng phẳng. 

READ:  Chitosan và các ứng dụng của nguyên liệu

 


Hình 2. Hình bình hành.

Ứng dụng tính diện tích quy hoạnh hình bình hành của tích có hướng .

Diện tích hình bình hành $ABCD$ được tính theo công thức $${S_{ABCD}} = left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AD} } right]} right|$$

 

Hình 3. Khối hộp 

Ứng dụng tính thể tích khối hộp và khối chóp của tích có hướng .

 

Thể tích khối hộp USD ABCD.A ‘ B’C ‘ D ‘ USD được tính bởi công thức USD USD { V_ { ABCD.A ‘ B’C ‘ D ‘ } } = left | { left [ { overrightarrow { AB }, overrightarrow { AD } } right ] cdot overrightarrow { AA ‘ } } right | USD USD

Từ đây suy ra thể tích khối chóp USD A ‘. ABD USD là USD USD { V_ { A ‘. ABD } } = frac { 1 } { 6 } left | { left [ { overrightarrow { AB }, overrightarrow { AD } } right ] cdot overrightarrow { AA ‘ } } right | USD USD

 

Hình 4. Ví dụ 3

Ví dụ 4 . 

Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm 

USD A left ( { 1 ; 2 ; 1 } right ), B left ( { 2 ; – 1 ; 3 } right ), C left ( { 5 ; 2 ; – 3 } right ), D left ( { 4 ; 5 ; – 6 } right ). USD

a. Tính thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$.
b. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.
c. Tính diện tích của tam giác $ABC$.
d. Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện.

READ:  Cách Cài Đặt Và Sử Dụng Ổ Đĩa USB

Giải. a. Ta có $overrightarrow {AB}  = left( {1; – 3;3} right),;;overrightarrow {AC}  = left( { 4;0; – 4} right),;;overrightarrow {AD}  = left( {3;3; – 7} right).$ Suy ra 
$$begin{array}{c}
left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 3}&3\
0&4
end{array}} right|; – left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&3\
4&{ – 4}
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&{ – 3}\
{ – 4}&0
end{array}} right|} right) = left( { – 12; 16; – 12} right).\
left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] cdot overrightarrow {AD}  =  – 12 cdot 3 + 3 cdot  16 + left( { – 7} right) cdot left( { – 12} right) = 96 ne 0.
end{array}$$

Vì $left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] cdot overrightarrow {AD}  ne 0$ nên theo tính chất 2 ta suy ra các vector $overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AD} $ không đồng phẳng. Nghĩa là bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng, và do đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện.

b. Diện tích của tam giác $ABC$ là $${S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]} right| = frac{1}{2}sqrt {{{left( { – 12} right)}^2} + {{16}^2} + {{left( { – 12} right)}^2}}  = sqrt {34} .$$

c. Thể tích của tứ diện $ABCD$ là $${V_{ABCD}} = frac{1}{6}left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] cdot overrightarrow {AD} } right| = frac{{96}}{6} = 16.$$

d. Thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ là $$V = left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] cdot overrightarrow {AD} } right| = 96.$$

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi
 ( nhiều bài tập hơn khi ĐK học tại Trung tâm Cùng học toán )

Share this post

Post Comment