Hình 1. Tích có hướng
Định nghĩa tích có hướng của hai vector.
Tích có hướng của hai vector $vec u$ và $vec v$ trong không gian, ký hiệu là $left[ {vec u,vec v} right]$ hoặc $vec u wedge vec v,$ là vector $vec w$ thoả $3$ điều kiện
-
USD vec w USD có phương vuông góc với cả USD vec u USD và USD vec v USD .
-
USD left | { vec w } right | = left | { vec u } right | cdot left | { vec v } right | cdot sin alpha, USD với USD alpha USD là góc hợp bởi USD vec u USD và USD vec v USD .
-
bộ ba vector USD left ( { vec u, vec v, vec w } right ) USD tạo thành một bộ ba thuận. – xem Hình 1 .
Tính chất 1 . $$vec uparallel vec v Leftrightarrow left[ {vec u,vec v} right] = vec 0.$$
Công thức toạ độ của tích có hướng.
Toạ động của vector tích có hướng của hai vector $vec u = left( {{u_1};{u_2};{u_3}} right)$ và $vec v = left( {{v_1};{v_2};{v_3}} right)$ là
$$left[ {vec u,vec v} right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2}}&{{u_3}}\
{{v_2}}&{{v_3}}
end{array}} right|; – left| {begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_3}}\
{{v_1}}&{{v_3}}
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\
{{v_1}}&{{v_2}}
end{array}} right|} right),$$
trong đó định thức $left| {begin{array}{*{20}{c}}
a&b\
c&d
end{array}} right| = ad – bc.$
Ví dụ 1.
Tích có hướng của hai vector $vec a = left( {2; – 1;3} right)$ và $vec b = left( {1;2;4} right)$ là
$$left[ {vec a,vec b} right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&3\
2&4
end{array}} right|; – left| {begin{array}{*{20}{c}}
2&3\
1&4
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
2&{ – 1}\
1&2
end{array}} right|} right) = left( { – 10; – 5;5} right).$$
Ví dụ 2.
Dùng tích có hướng để kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm $Aleft( {1;3;1} right),Bleft( {0;1;2} right),Cleft( {0;0;1} right).$
Giải. Ta có USD overrightarrow { AB } = left ( { – 1 ; – 2 ; 1 } right ) USD, USD overrightarrow { AC } = left ( { – 1 ; – 3 ; 0 } right ). USD Suy ra USD USD left [ { overrightarrow { AB }, overrightarrow { AC } } right ] = left ( { 3 ; – 1 ; 1 } right ) ne overrightarrow 0. USD USD Theo đặc thù 1 thì hai vector USD overrightarrow { AB }, overrightarrow { AC } USD không cùng phương. Nghĩa là USD A $, USD B USD, USD C USD không thẳng hàng .
Tích hỗn tạp của 3 vector.
Tích hỗn tạp của 3 vector $vec u$, $vec v$ và $vec w$ là tích vô hướng của một vector bất kì với vector tích có hướng của hai vector còn lại: $left[ {vec u,vec v} right] cdot vec w$, $left[ {vec v,vec u} right] cdot vec w$, $left[ {vec w,vec v} right] cdot vec u$,… Có tất cả $A_3^2$ bộ như vậy.
Tính chất 2 . Ba vector $vec u$, $vec v$ và $vec w$ đồng phẳng khi tích hỗn tạp của chúng bằng $0$.
Ví dụ 3.
Dùng tích hỗn tạp đễ kiểm tra tính đồng phẳng của 3 vector sau $vec a = left( {2; – 1;3} right)$, $vec b = left( {1;2;4} right)$ và $vec c = left( {1;-2;0} right)$.
Giaỉ. Ta có $left[ {vec a,vec b} right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&3\
2&4
end{array}} right|; – left| {begin{array}{*{20}{c}}
2&3\
1&4
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
2&{ – 1}\
1&2
end{array}} right|} right) = left( { – 10; – 5;5} right).$
Suy ra $left[ {vec a,vec b} right] cdot vec c = – 10 cdot 1 + left( { – 5} right)left( { – 2} right) + 5 cdot 0 = 0.$
Theo tính chất 2 thì ba vector $vec a,vec b,vec c$ đồng phẳng.
Hình 2. Hình bình hành.
Ứng dụng tính diện tích quy hoạnh hình bình hành của tích có hướng .
Diện tích hình bình hành $ABCD$ được tính theo công thức $${S_{ABCD}} = left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AD} } right]} right|$$
Hình 3. Khối hộp
Ứng dụng tính thể tích khối hộp và khối chóp của tích có hướng .
Thể tích khối hộp USD ABCD.A ‘ B’C ‘ D ‘ USD được tính bởi công thức USD USD { V_ { ABCD.A ‘ B’C ‘ D ‘ } } = left | { left [ { overrightarrow { AB }, overrightarrow { AD } } right ] cdot overrightarrow { AA ‘ } } right | USD USD
Từ đây suy ra thể tích khối chóp USD A ‘. ABD USD là USD USD { V_ { A ‘. ABD } } = frac { 1 } { 6 } left | { left [ { overrightarrow { AB }, overrightarrow { AD } } right ] cdot overrightarrow { AA ‘ } } right | USD USD
Hình 4. Ví dụ 3
Ví dụ 4 .
Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm
USD A left ( { 1 ; 2 ; 1 } right ), B left ( { 2 ; – 1 ; 3 } right ), C left ( { 5 ; 2 ; – 3 } right ), D left ( { 4 ; 5 ; – 6 } right ). USD
a. Tính thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$.
b. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.
c. Tính diện tích của tam giác $ABC$.
d. Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện.
Giải. a. Ta có $overrightarrow {AB} = left( {1; – 3;3} right),;;overrightarrow {AC} = left( { 4;0; – 4} right),;;overrightarrow {AD} = left( {3;3; – 7} right).$ Suy ra
$$begin{array}{c}
left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 3}&3\
0&4
end{array}} right|; – left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&3\
4&{ – 4}
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&{ – 3}\
{ – 4}&0
end{array}} right|} right) = left( { – 12; 16; – 12} right).\
left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] cdot overrightarrow {AD} = – 12 cdot 3 + 3 cdot 16 + left( { – 7} right) cdot left( { – 12} right) = 96 ne 0.
end{array}$$
Vì $left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] cdot overrightarrow {AD} ne 0$ nên theo tính chất 2 ta suy ra các vector $overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AD} $ không đồng phẳng. Nghĩa là bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng, và do đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện.
b. Diện tích của tam giác $ABC$ là $${S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]} right| = frac{1}{2}sqrt {{{left( { – 12} right)}^2} + {{16}^2} + {{left( { – 12} right)}^2}} = sqrt {34} .$$
c. Thể tích của tứ diện $ABCD$ là $${V_{ABCD}} = frac{1}{6}left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] cdot overrightarrow {AD} } right| = frac{{96}}{6} = 16.$$
d. Thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ là $$V = left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] cdot overrightarrow {AD} } right| = 96.$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi
( nhiều bài tập hơn khi ĐK học tại Trung tâm Cùng học toán )
